カルダノ 3次方程式：カルダノの公式と解法ガイド
カルダノ 3次方程式という語は、本稿では「カルダノの公式による一変数三次方程式の代数的解法」を指します。カルダノ 3次方程式の扱い方を理解することで、三次多項式の根の解析、判別式による場合分け、実用的な数値解法との使い分けが見えてきます。
なお、2025年12月24日現在、歴史的背景や定義の多くは Wikipedia や数学教科書の解説を参照しています。
用語と記法
本稿では一般形を ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 とします。まずカルダノ 3次方程式を扱う際に標準化（縮約）して
X^3 + pX + q = 0
の形に変形します。ここでの p, q は
p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \quad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2 d}{27a^3}
として定義されます（式は説明のための表示）。カルダノ 3次方程式の議論ではこれらの記法を統一して用います。
歴史
デル・フェッロが部分解を見出し、タルターリアが口伝での解法をもちいた後、ジェロラモ・カルダノが『アルス・マグナ』にカルダノの公式を掲載しました。カルダノ 3次方程式の公式化にはフェラーリらの関連する貢献も重要です。
基本的な考え方（導入）
カルダノ 3次方程式の中心は「二次項を消す置換」と「X = u + v の分解」です。まず x = X - b/(3a) により縮約三次方程式 X^3 + pX + q = 0 を得ます。次に X = u + v と置き、u, v による連立条件を導きます。
カルダノの導出（詳細）
立方完成（チルンハウス変換）
x = X - b/(3a) の置換により二次項を消し、p, q に帰着させます。これがカルダノ 3次方程式を解く第一歩です。
置換 X = u + v と連立方程式
代入すると u^3 + v^3 + (3uv) (u+v) + p(u+v) + q = 0 となり、3uv + p = 0 と u^3 + v^3 + q = 0 を同時に満たすように u, v を選びます。従って
3uv = -p, \quad u^3 + v^3 = -q
が基本条件です。
二次方程式による u^3, v^3 の決定
u^3 と v^3 は t^2 + q t - (p/3)^3 = 0 のような二次方程式で決まり、判別を √ で表現して三乗根をとることで u, v を復元します。ここで三乗根の多価性と分枝選択に注意が必要です。カルダノ 3次方程式では複素数を経由するケースが生じます。
解の一般形（3根の表示）
一つの選択で得られる根に対して、原始3乗根 ω を用いれば三つの根を全て表現できます。具体的には
X_k = u + v, \quad u = \sqrt[3]{A}, \quad v = \sqrt[3]{B}, \quad A B = -\left(\frac{p}{3}\right)^3
および ω を用いた回転で残りの根を得ます。これがカルダノ 3次方程式で得られる三根の一般表示です。
判別式と場合分け
判別式 Δ = -4p^3 - 27 q^2（定義の形は表記により符号が異なる場合があります）は根の性質を決めます。Δ>0 のとき三つの実根（ただし公式では複素数を経由する casus irreducibilis あり）、Δ=0 のとき重根、Δ<0 のとき 1 実根 2 複素共役根となります。カルダノ 3次方程式の実用的取り扱いではこの判別が重要です。
計算上の注意点
三乗根の多価性、分枝の選択、丸め誤差や数値的不安定性に注意してください。特に casus irreducibilis では公式そのままの実装が複素数の扱いで数値誤差を招くため、三角関数を用いるトリゴノメトリック解法や数値的なニュートン法の併用が実務的です。カルダノ 3次方程式をプログラム実装する際は既存の数値ライブラリの挙動を確認してください。
具体例と演習
例題：x^3 - 3x + 2 = 0 のような簡単な縮約形を取り、p=-3, q=2 としてカルダノの手順で u^3, v^3 を求め、三乗根を取って解を確認します。手順に沿うことでカルダノ 3次方程式の操作に慣れます。
Casus irreducibilis（特異ケース）
Δ>0 かつ三つの実根が存在するが公式では複素数を経由する場合があり、これを casus irreducibilis と呼びます。この場合には三角関数を用いた解法が実数表現として有用です。
実装と数値例（補助）
実装時は三乗根の主値選択、複素数演算、数値安定性を確認してください。多くの数学ソフトウェアは内部で安定化された手法を用いており、手元実装では検算を推奨します。
参考文献・外部リンク
- "Ars Magna"（Gerolamo Cardano）に関する古典資料
- Wikipedia の "Cubic equation" 項
- 大学教科書（代数）の該当章
注意（表題に関する補足）
カルダノという語は暗号通貨プロジェクト（Cardano / ADA）を連想させますが、本稿「カルダノ 3次方程式」は数学上の『カルダノの公式（3次方程式の解法）』に関する記事であり、暗号通貨とは無関係です。暗号通貨に関する情報が必要であれば別途その旨をお知らせください。
さらに探索：カルダノ 3次方程式の詳細な導出やプログラム実装例が必要であれば、次の節から個別に展開します。Bitget の学習リソースなどで数学的背景を深めるのもおすすめです。
